av 巨乳 深度长文：数轴上赶紧砍一刀，砍到有理数的概率为0（建议保藏）

之前作念了好多期物理基础表面方面的科普，在安然之余看到谈判数学方面的常识，感到很酷好酷好av 巨乳，主要对于有理数，极度数以及无限的办法。

本东说念主在学生期间对数学极度感意思意思，是以如今诚然毕业多年，又抽空专门了解了一些数学方面的常识，今天跟大家统统共享一下。若是有折柳的地方，还望多多赐教。

我会尽量以庸碌的讲话去面目，尽量去掉一些复杂的数学公式推理，毕竟科普的场所是让大家以为下里巴人，而不是向大家传授专科常识，专科的东西我也不太会。然则庸碌不免会不太严谨，但愿大家剖判。

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好了，回到今天我要说的正题：在数轴上赶紧取一个点，有理数的概率为0。

看到这里，详情有东说念主运行不淡定了：你又在这里瞎说呢？数轴上对应的是实数，包含了有理数和极度数，赶紧取的点，有理数的概率若何可能是零呢？

这里强调点，概率为零，并不料味着一定不成取到有理数，概率和履行并不是皆备等价的。你不错庸碌一语气为取到有理数的概率无限小。

为什么会这样？

庸碌一语气即是，诚然实数等于有理数加上极度数，但有理数在实数眼前即是个渣渣，无须管，皆备不错忽略不计，是以效力即是：

实数=极度数！

因此在数轴上赶紧取一丝，这个点是极度数的概率为100%，有理数的概率为0。

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没错，极度数即是这样“霸道”，诚然实数是有理数和极度数之和，但事实上实数和极度数是一样多的，数学家们早就证实了这点，这里就不再证实了，证实经过我也看了，有些繁琐。因为两个围聚，也即是实数围聚和极度数围聚不错逐一双应。

只好两个围聚能逐一双应，这两个围聚一定是异常的。

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“极度数和实数一样多”彰着违犯了咱们的直观：明明实数比极度数多出了个有理数啊，两者若何可能一样多呢？

这就牵连到咱们对无限的一语气了，咱们不成器具体的有限办法去臆测无限的宇宙，不然很可能堕入到我方挖的陷坑内部走不出来。

再举个例子你就剖判了，整数和偶数哪个更多呢？

整数包括奇数和偶数，看起来整数应该比偶数更多，但本色上两者是一样多的，原因很肤浅，两个围聚不错逐一双应，每一个整数都有一个偶数与之对应，整数乘以2即是偶数，两者天然一样多了。

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若是你经受了“整数和偶数一样多”，天然就更容易经受“实数和极度数一样多”！

好了，到这里只是表面上的分析，底下来预防具体分析一下有理数和极度数的性质和关系。

1.有理数和极度数都是广阔的，但极度数比有理数更广阔。

什么是广阔？肤浅一语气即是紧挨着，就像好多东说念主站成一滑，每个东说念主都是紧挨着摆布的东说念主，到底有多紧？极度紧，紧到咱们无法联想，紧到变态的进程。

举个例子，1和2在咱们印象里挨得很近，但1和2中间还有3/2。1和1/2看起来更近吧？但它们之间还有3/4......

如斯类推下去，咱们会发现，岂论两个有理数挨得有多近，当把它们扒开之后就会发现，两者之间还有多半个有理数！

这即是所谓的广阔。

有理数还是这样广阔了，极度数果然比有理数还要广阔，这让咱们更难一语气了。不要烦燥，之后会一丝点分析。

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对于广阔，很有必要强调一丝，所谓的“广阔”并不料味着是一语气的，庸碌一语气即是，尽管有理数极度广阔，但远不成把数轴都填满，数轴上还有更广阔的极度数。

庸碌一语气是这样的，不管两个有理数挨得有多近，总能在两者之间找到其他有理数。

也即是说，有理数所谓的广阔，只是建设在“有理数”这个办法上的，是“有理数的广阔”。但广阔的有理数并不是一语气的，这意味着，不管两个有理数挨得有多近，中间也会有多半个极度数。

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然则极度数的存在并不影响有理数的“广阔性”。打个有些吓东说念主的譬如，有50个东说念主紧挨着站成一滑，详情是广阔的，但每个东说念主中间都存在多半多个“鬼”，但“鬼”的存在并不影响东说念主的广阔性！

2.极度数是无限不轮回演义，其实也不错这样一语气：在极少点后头敷衍乱写，即是极度数。

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咱们都知说念，极度数是无限不轮回演义，不轮回庸碌来讲即是莫得限定，即是敷衍乱写的。既然有无限不轮回，那就有无限轮回，无限轮回极少是有理数，而只好是轮回的极少，就一定能写因素数，因为循设施的出现就意味着尾数的类似，这点其实并不难证实，这里也不再证实了，不太剖判了不错奏凯用无限轮回的分数作念除法竖式，望望尾数和循设施什么本领出现，很容易就剖判了，比如说1/6，你不错试试。

而无限不轮回极少，都不成写因素数。无限不轮回让东说念主嗅觉有点不惬意，简略一个妖孽一样，如斯让东说念主捉摸不定。然则咱们不错尝试用有限极少来一语气极度数。

敷衍举个例子，你不错在键盘上敷衍敲击一个极度数，，这个极度数是真赶紧数，比如说0.6754837263......

这个数即是我闭着眼睛敷衍敲键盘敲出来的，你也不错敷衍敲。

很彰着0.6＜0.6754837263......＜0.7

把领域连接破坏，即是0.67＜0.6754837263......＜0.68

连接破坏，即是0.675＜0.6754837263......＜0.676

如斯类推，不停破坏领域，精准度越来越高，咱们就能徐徐看出来极度数到底是一个什么样的数。

有东说念主可能会质疑：上头阿谁极度数果然存在吗？难说念你赶紧用键盘敲击出一个极少即是极度数吗？

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确乎是这样，而且只好存在有理数，那么势必会存在极度数。

更不可想议的是，之前说了，有理数是广阔的，但广阔并不代表一语气。若是极度数看到有理数如斯广阔，详情会这样想：你们互相之间确乎挨得极度紧，但我如故以为你们家里好空，是以我想进去。

别说，极度数还果然进去了，尽管有理数是广阔的。不但进去了，而且统统的极度数都进去了。

进去之后，咱们就发现，有理数和极度数统统构成了一个新的大家庭，也即是实数，统统的实数与数轴是逐一双应的，这又顿时让咱们以为极度舒心，全然莫得了刚才极度数的“极度”感。

3.数轴上为何险些全是极度数？

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诚然有理数和极度数统统构成了实数，但履行情况是，极度数要比有理数多得多。诚然有理数和极度数都是无限多，但两个无限皆备不是一个等第的，无限亦然有大小的。打个比方，极度数的无限是有限的无限，而极度数的无限是无限的无限。

不错这样庸碌一语气，若是有理数的数目是1，那么极度数的数目即是统统的整数！

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这就来到了题目中的问题，在数轴上敷衍砍一刀，砍到有理数的概率为0！而砍到极度数的概率为100%！

天然，这里还要连接强调，概率为0并不代表不可能事件，概率为100%也不代表势必事件。天然这里的概率只是一个办法，更多的是指数学上的概率分析。对于这点不再过多解释，你只需要选择服气就不错了，抗拒气的送两个字：民科！（简略有点霸道，呵呵）

这里有一个疑问，无限多和无限多到底该若何比拟大小呢？

其实刚才还是对比过了，肤浅说即是应用围聚的办法，两个无限的书籍只好能逐一双应，即是一样大的，反之就不一样大。

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比如偶数和整数两个围聚就能逐一双应，偶数和整数即是一样多的，刚才也证实了。

这种想想最早出自于康拓尔，他还建议了一个“可列”的办法，比如，上头提到的整数，偶数和奇数都是“可列”的，是以它们的数目一样多。

这里强调一下，“可列”这个办法是翻译过来的，也有翻译成“可数”的，两者是一个酷好，不外我嗅觉“可列”更能抒发快活。

整数，偶数和奇数都是“可列”的，那么有理数亦然“可列”的吗？

谜底是详情的，证实方法其实很肤浅，因为有理数其实即是分数，用p/q来示意，这里只需要把p+q按照从小到大循序罗列就不错了，效力即是：

1/1，

1/2， 2/1，

1/3，2/2， 3/1，

1/4， 2/3， 3/2， 4/1，

1/5， 2/4， 3/3， 4/2， 5/1

很彰着，有理数亦然“可列”的。那么问题来了，极度数是“可列”的吗？

谜底是申辩的，极度数并不是“可列”的。为什么？如何证实？有一个绝妙的方法，如故康拓尔建议来的，“对角线证法”，具体经过可能比拟复杂，这里尽量以庸碌的讲话来呈文，应用的是反证法。

假定极度数是“可列”的。

尝试列出0到1之间的统统极度数，天然咱们不可能果然全部列出，只需要闭着眼睛对着10个数字键盘一通盲打就不错了，方法并不紧迫。比如说打出了一下极度数：

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仔细不雅察，咱们会发现一个限定，统统的极度数构成了一个矩形阵列，况兼列数和行数都是一样的，都是n，这意味着上头统统的极度数构成的是正方形阵列。

如斯一来，咱们就不错从极度数的左上角到右下角奏凯划出一个对角线，对角线就会穿过第一个行，也即是第一个极度数的第一列，然后穿过第2行第2列......直到穿过第n行的第n列。便捷起见，咱们把穿过的数字用红色标记出来，这个数字即是：859032......

接下来咱们把上头的数字每一位都加1，其实加几都无所谓，最终取得的论断都是一样的。

加上1之后，会取得数字960143......，把这个数字与上头统统的极度数对比，你会发现这个数与任何一个极度数都不同，这个应该很容易一语气吧？

这证实了什么呢？证实岂论你何等奋力，都不可能把0到1之间的极度数全部列出来，总会有你列不出来的极度数存在，比如上头阿谁数960143......。

也即是说一运行的假定：“极度数是可列的”不确立。是以极度数是“不可列”的。

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其实按照康拓尔的数学表面体系，咱们左证一个围聚是否“可列”，不错这样更庸碌地一语气有理数和极度数：由于有理数是“可列”的，是以有理数的无限是“可数无限”，而极度数是“不可列”的，是以极度数是“不可数无限”。

一个可数，一个不可数，两者别离太大了，皆备不是一个量级的。

也即是说，极度数的“无限”，要比有理数的“无限”更高一级，而这种级别也被康拓尔称之为“势”！

对于“势”这种界说，其实是很复杂的，水也很深，这里就不伸开了，说真话我也莫得了解得更深，智力有限，也不敢连接真切谈判下去，以免路走歪了最终走上民科的说念路。

临了一个问题：如何具体证实极度数比有理数多得多呢？毕竟上头只是呈文了“可列”与“不可列”的区别，并莫得皆备证实。

要想证实极度数比有理数多得多，天然不可能一个一个去数，也数不外来。但咱们不错换一种想维，用“概率”的阵势去证实。

说白了，咱们不错在实数的数轴上纵情取一个数，然后诡计这个数偶合是有理数的概率，若是这个概率是0，那么就足以证实极度数远远多于有理数。

但艰难又来了，诡计某个事件的概率，常常都是以有限的样本为基础的，而此次咱们濒临的是无限多的有理数和极度数，该若何诡计有理数的概率呢？

这本领咱们还要跳出固有的想维，不要忘了，有理数和极度数不单是是某个数字，如故“一条直线”，一条数轴这样的直线就不错抒发出全部实数。

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那么，咱们皆备不错用几何去抒发数学，其实这即是所谓的“测度”。何为“测度”？庸碌一语气即是“长度”，测量的是几何区域的长度。

这里有一个决窍，咱们只需要诡计出有理数在数轴上的点的测度就不错了，也即是有理数在数轴上的点粘结起来的总长度。若是最终的测度，也即是总长度为零，那么在数轴上取得有理数的概率即是0。

若是把数轴上有理数上的点粘结起来呢？不错假定第一个有理数点的长度为x，第二个有理数点的长度为1/2x......第n个有理数点的长度即是x除以2的n次方。

为何一定要这样设定呢？因为好诡计更容易一语气，非要设定成其他的数，也不是不不错，只是会极度复杂，但都不影响最终的效力。

这样设定好之后，应用等比数列乞降公式，咱们很容易诡计出全部有理数点的总长度为2x，证实经过就不需要胪陈了吧？毕竟这只是需要初中数学水平就不错作念到。

这就意味着，全部有理数点的总长度是第一个有理数点长度的两倍。

到这里问题就很肤浅了，只需条目出第一个有理数点的长度就不错了。而一个有理数上的点的大小是些许呢？昭着即是0。于是乎，全部有理数的总长度，也即是测度即是0的两倍，效力如故0。

是以有理数的测度是0，极度数的测度是1，那么在数轴上赶紧砍一刀，砍到有理数的概率即是0。

到这里，详情会有东说念主建议：你这个证实经过即是诡辩，既然点的大小是0，何须如斯费力，不管些许个零，最终相加起来详情如故0啊。而且用这种阵势来证实极度数的长度，效力不亦然0吗？

其实这就波及刚才所说的无限中“势”的办法，测度论还有“可列”与“不可列”的区别。庸碌来讲即是，极度数的“无限”，和有理数的“无限”并不一样。前者不可列，也即是不可数，尔后者是可列的，是可数的。可数在不可数眼前其实与0没啥区别。

你并不成用上头一样的方法诡计出极度数的测度多些许，因为极度数是不可列的，并不存在“第n个极度数”，然则存在“第n个有理数”，因为有理数与整数是一样多的，两者不错逐一双应。

其实还有其他方法不错庸碌一语气为何“在数轴上赶紧取一丝，取到有理数的概率为零”，比如说，数轴的精度是无限的，而有理数其实相等于一个有限精度的点，而极度数相等于无限精度的点。而刚才说了，数轴的精度是无限的，是以在数轴上赶紧取的点，100%会是极度数。

临了说一丝，“在数轴上赶紧取一个点”这种活动其实是没零星想的，因为咱们压根无法界说“在数轴上赶紧取一个点”这种事件，这种事件并不安妥概率论中赶紧事件的测度干系条目。

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诚然无法界说，但这并不妨碍咱们对有理数，极度数之间关系的一语气，还有对无限大小的一语气。对于无限的办法，您有什么看法呢？留言区规划吧！

完！av 巨乳

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